离散

拉普拉斯可从幂级数推倒出来(n=0,1,2,3........)
$$
\sum _ { 0 } ^ { \infty } a _ { n } x ^ { n } = A ( x )
$$
我们用离散函数$$ a(n) $$把$$ a _ { n } $$ 替换掉
$$
\sum _ { 0 } ^ { \infty } a(n) x ^ { n } = A ( x )
$$
例如当$$a(n)=1$$ ,$$ a(n) =\frac { 1 } { n ! } $$的时候,$$ A(x) $$分别等于
$$
\begin{array} { l } { a ( n ) \rightarrow A ( x ) } \ { 1 \rightarrow \frac { 1 } { 1 - x } \quad | x | < 1 } \ { \frac { 1 } { n ! } \rightarrow e ^ { x } } \end{array}
$$

连续

我们用时间t(0<=t<=∞)代替自然数n(n=0,1,2,3......)
$$
\int _ { 0 } ^ { \infty } a(t) x ^ { t } = A ( x )
$$
我们做微积分的时候通常不喜欢底数是个x,我们希望底数是e
$$
x = e ^ { \ln x }
$$
我们希望,$$ A(x) $$是收敛的，所以x<1,

如何x<0,如x=-1,那么0<t<1是$$x ^ { t }$$就变成虚数了，这个也不是我们要的，所以0<x,

所以0<x<1,

所以$$\ln x<0$$.

我们用正数s代替负数 $$ \ln x$$,即$$ s=-\ln x$$

由此，拉普拉斯变换已经成型，
$$
\int _ { 0 } ^ { a } a ( t ) e ^ { - s t } d t = A \left( e ^ { - s } \right) = A ( s )
$$
$$A \left( e ^ { - s } \right)$$，是关于s的简单函数，因此直接写为$$A ( s )$$
拉普拉斯变化最重要的特性是把关于一个变量的函数转化为了关于另一个变量的函数，这个很有意义